梳理研究-python信号处理-小波分析PyWavelets

1.上级笔记

梳理研究-python信号处理.md

2.基础

网络资源

来源：小波变换简介 - 简书 (jianshu.com)
本地：小波变换简介 信号分解 python

连续小波变换

下面将要详细讨论的连续小波变换也是信号在时间-频率域内局部化联合分析的一种方法。小波$ψ(t)$是一个时间函数,它正负波动的同时速降至零,其傅立叶变换$\hatψ(w)$呈现为带通滤波器的频率特性,也就是说，小波在时域和频域都是局部化的。将$ψ(t)$伸缩和平移而得到的一族函数$ψ{a,b}(t)$称为分析小波,它在时域和频域也是局部化的。以$ψ{a,b}(t)$为核函数的积分变换,正是积分小波变换或称连续小波变换。与窗口傅立叶变换不同的是,小波变换的时间-频率窗不是固定不变的,而是可以自适应调整的。这是小波变换和窗口傅立叶变换的根本区别。也正是由于这个特点决定了小波分析在实际应用中的独特地位。

还应当注意,傅立叶变换用到的核函数为正弦函数，具有惟一性;小波分析用到的核函数为小波函数则有很多种,具有不惟一性,同一工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析实际应用中的一个难点,也是小波分析研究的一一个热点，目前往往是根据经验或通过不断的试验,对结果进行对比分析来选择合适的小波。

离散小波变换

3.各类小波基函数及用途

小波基函数及选择

来源：有关小波的几个术语及常见的小波基介绍_不负韶华T的博客-CSDN博客
本地：有关小波的几个术语及常见的小波基介绍

pywt小波基函数及选择

1. 小波基的选择问题

    API给出了很多小波族，每个小波族又有很多系数可供选择，在处理图片时怎么选择并没有标准答案，在实验过程中主要用到最后的结果——“相同类的统计特征相近，不同类的统计特征相差很大”来挑选小波基函数。（来源：https://www.cnblogs.com/keye/p/7809207.html）

2. 多尺度（多次）小波变化中层数的选择

    多尺度小波变换一般是3~4层，但注意是，图片太小，或纹理不丰富，用单层的小波变换就足够了。如果用多层的小波变换，Pywalvets仍会返回一层变换的结果，因为信息量过小导致不能采样来进一步进行变换。（来源：https://www.cnblogs.com/keye/p/7809207.html）

4.库：pywt（PyWavelets）

地址：
PyWavelets - Wavelet Transforms in Python — PyWavelets Documentation
手册：api
API Reference — PyWavelets Documentation

安装

1. 切换到python虚拟环境，此处使用python383虚拟环境
    activate python383
2. 安装
方式一：使用pip
最简单的方法就是进行pip安装，可以满足所有的依赖关系；
可以提前下载好安装文件，切换到文件存放位置进行安装；也可以直接使用指令在线安装。
    pip install PyWavelets
方式二：使用conda
前提是安装了Anaconda。
    conda install pywavelets
3. 查看安装结果
    pip list

 遇到问题多翻看手册
 基于v1.1.1

5.库的基本使用

import pywt
cA, cD = pywt.dwt([1, 2, 3, 4], 'db1') #[1, 2, 3, 4]是待分析数据，db1是小波基函数。

6.库的小波基函数

内置小波基函数

函数族

查看函数族，输入：

pywt.families() # 默认缩写，

返回：

['haar',
 'db',
 'sym',
 'coif',
 'bior',
 'rbio',
 'dmey',
 'gaus',
 'mexh',
 'morl',
 'cgau',
 'shan',
 'fbsp',
 'cmor']

查看详细函数族：

pywt.families(short=False)

输出：

['Haar',
 'Daubechies',
 'Symlets',
 'Coiflets',
 'Biorthogonal',
 'Reverse biorthogonal',
 'Discrete Meyer (FIR Approximation)',
 'Gaussian',
 'Mexican hat wavelet',
 'Morlet wavelet',
 'Complex Gaussian wavelets',
 'Shannon wavelets',
 'Frequency B-Spline wavelets',
 'Complex Morlet wavelets']

函数列表

查看函数列表：

pywt.wavelist( family=None, kind='all' )

输出：

['bior1.1',
 'bior1.3',
 'bior1.5',
 'bior2.2',
 'bior2.4',
 'bior2.6',
 'bior2.8',
 'bior3.1',
 'bior3.3',
 'bior3.5',
 'bior3.7',
 'bior3.9',
 'bior4.4',
 'bior5.5',
 'bior6.8',
 'cgau1',
 'cgau2',
 'cgau3',
 'cgau4',
 'cgau5',
 'cgau6',
 'cgau7',
 'cgau8',
 'cmor',
 'coif1',
 'coif2',
 'coif3',
 'coif4',
 'coif5',
 'coif6',
 'coif7',
 'coif8',
 'coif9',
 'coif10',
 'coif11',
 'coif12',
 'coif13',
 'coif14',
 'coif15',
 'coif16',
 'coif17',
 'db1',
 'db2',
 'db3',
 'db4',
 'db5',
 'db6',
 'db7',
 'db8',
 'db9',
 'db10',
 'db11',
 'db12',
 'db13',
 'db14',
 'db15',
 'db16',
 'db17',
 'db18',
 'db19',
 'db20',
 'db21',
 'db22',
 'db23',
 'db24',
 'db25',
 'db26',
 'db27',
 'db28',
 'db29',
 'db30',
 'db31',
 'db32',
 'db33',
 'db34',
 'db35',
 'db36',
 'db37',
 'db38',
 'dmey',
 'fbsp',
 'gaus1',
 'gaus2',
 'gaus3',
 'gaus4',
 'gaus5',
 'gaus6',
 'gaus7',
 'gaus8',
 'haar',
 'mexh',
 'morl',
 'rbio1.1',
 'rbio1.3',
 'rbio1.5',
 'rbio2.2',
 'rbio2.4',
 'rbio2.6',
 'rbio2.8',
 'rbio3.1',
 'rbio3.3',
 'rbio3.5',
 'rbio3.7',
 'rbio3.9',
 'rbio4.4',
 'rbio5.5',
 'rbio6.8',
 'shan',
 'sym2',
 'sym3',
 'sym4',
 'sym5',
 'sym6',
 'sym7',
 'sym8',
 'sym9',
 'sym10',
 'sym11',
 'sym12',
 'sym13',
 'sym14',
 'sym15',
 'sym16',
 'sym17',
 'sym18',
 'sym19',
 'sym20']

查看某一项函数的列表，例如$coif$基函数：

pywt.wavelist('coif')
pywt.wavelist(family='coif') #两种方式都可以

输出：

['coif1',
 'coif2',
 'coif3',
 'coif4',
 'coif5',
 'coif6',
 'coif7',
 'coif8',
 'coif9',
 'coif10',
 'coif11',
 'coif12',
 'coif13',
 'coif14',
 'coif15',
 'coif16',
 'coif17']

小波函数对象

class pywt.Wavelet( name [ , filter_bank=None ] )
使用：

wavelet1 = pywt.Wavelet('db1')
print(wavelet1) #查看继承的属性

输出：

Wavelet db1
  Family name:    Daubechies
  Short name:     db
  Filters length: 2
  Orthogonal:     True
  Biorthogonal:   True
  Symmetry:       asymmetric
  DWT:            True
  CWT:            False

小波逼近和标度

Wavelet. wavefun( level )
wavefun()可以用来计算给定level的phi和psi参数。

 The wavefun() method can be used to calculate approximations of scaling function(phi) and wavelet function (psi) at the given level of refinement.
- 针对正交小波orthogonal wavelets
[phi, psi, x] = wavelet.wavefun(level)
示例：

wavelet = pywt.Wavelet('db2')
phi, psi, x = wavelet.wavefun(level=5)

- 针对双正交小波 (biorthogonal but not orthogonal) wavelets
[phi_d, psi_d, phi_r, psi_r, x] = wavelet.wavefun(level)
示例：

wavelet = pywt.Wavelet('bior3.5')
phi_d, psi_d, phi_r, psi_r, x = wavelet.wavefun(level=5)

自定义小波基函数、改造内置小波基函数

去看手册吧：Wavelets — PyWavelets Documentation

7.信号扩展模式

分类

PyWavelets provides several methods of signal extrapolation that can be used to minimize this negative effect:

- zero - zero-padding - signal is extended by adding zero samples:
... 0 0 | x1 x2 ... xn | 0 0 ...
- constant - constant-padding - border values are replicated:
... x1 x1 | x1 x2 ... xn | xn xn ...
- symmetric - symmetric- padding - signal is extended by mirroring samples. This mode is also known as half-sample symmetric.:
... x2 x1 | x1 x2 ... xn | xn xn-1 ...
- reflect - reflect-padding - signal is extended by reflecting samples. This mode is also known as whole-sample symmetric.:
… x3 x2 | x1 x2 … xn | xn-1 xn-2 …
- periodic - periodic-padding - signal is treated as a periodic one:
... xn-1 xn | x1 x2 ... xn | x1 x2 ...
- smooth - smooth- padding - signal is extended according to the first derivatives calculated on the edges (straight line)
- antisymmetric - anti- symmetric padding - signal is extended by mirroring and negating samples. This mode is also known as half-sample anti-symmetric:
... -x2 -x1 | x1 x2 ... xn | -xn -xn-1 ...
- antireflect - anti-symmetric-reflect padding - signal is extended by reflecting anti-symmetrically about the edge samples. This mode is also known as whole-sample anti-symmetric:
... (2*x1 - x3) (2*x1 - x2) | x1 x2 ... xn | (2*xn - xn-1) (2*xn - xn-2) ...

使用

1. 查看扩展模式
    

    print(pywt.Modes.modes)

    输出
    

    ['zero', 'constant', 'symmetric', 'periodic', 'smooth', 'periodization', 'reflect', 'antisymmetric', 'antireflect']

2. dwt（Discrete Wavelet Transform 离散小波变换）使用扩展模式
    

    (a, d) = pywt.dwt([1,2,3,4,5,6], 'db2', 'smooth')
    (a, d) = pywt.dwt([1,2,3,4,5,6], pywt.Wavelet('db2'), pywt.Modes.smooth) #二者效果一样

3. 使用扩展模式
    pywt.pad(_x_, _pad_widths_, _mode_)
    示例：
    

    x1=[0,1,2,3]
    pywt. pad( x1, 2, 'zero' )

    输出：
    

    array([0, 0, 0, 1, 2, 3, 0, 0])

# 8.离散小波变换(Discrete Wavelet Transform DWT)

单层变换（dwt）

方法介绍

pywt.dwt(data, wavelet, mode='symmetric', axis=-1)

Parameters:
    data : array_like
        Input signal
    wavelet : Wavelet object or name
        Wavelet to use
    mode : str, optional
        Signal extension mode, see Modes.
    axis: int, optional
        Axis over which to compute the DWT. If not given, the last axis is used.

Returns:
    (cA, cD) : tuple
        Approximation and detail coefficients

示例

输入

(cA, cD) = pywt.dwt([1, 2, 3, 4, 5, 6], 'db1')
cA

输出：

array([ 2.12132034,  4.94974747,  7.77817459])

输入

cD

输出

array([-0.70710678, -0.70710678, -0.70710678])

1维数据、多层分解（wavedec）

方法介绍

pywt.wavedec(data, wavelet, mode='symmetric', level=None, axis=-1)

Parameters:    
    data: array_like
        Input data

    wavelet : Wavelet object or name string
        Wavelet to use

    mode : str, optional
        Signal extension mode, see Modes.

    level : int, optional
        Decomposition level (must be >= 0). If level is None (default) then it will be calculated using the dwt_max_level function.

    axis: int, optional
        Axis over which to compute the DWT. If not given, the last axis is used.

Returns:
    [cA_n, cD_n, cD_n-1, …, cD2, cD1] : list
        Ordered list of coefficients arrays where n denotes the level of decomposition. The first element (cA_n) of the result is approximation coefficients array and the following elements (cD_n - cD_1) are details coefficients arrays.

示例

>>> from pywt import wavedec
>>> coeffs = wavedec([1,2,3,4,5,6,7,8], 'db1', level=2)
>>> cA2, cD2, cD1 = coeffs
>>> cD1
array([-0.70710678, -0.70710678, -0.70710678, -0.70710678])
>>> cD2
array([-2., -2.])
>>> cA2
array([  5.,  13.])

其他分解方法

由于暂时没使用到，先做个索引，用的时候去看手册Discrete Wavelet Transform (DWT) — PyWavelets Documentation
1. Partial Discrete Wavelet Transform data decomposition downcoef
    pywt.downcoef(part, data, wavelet, mode='symmetric', level=1)
1. Maximum decomposition level - dwt_max_level, dwtn_max_level
    pywt.dwt_max_level(data_len, filter_len)
1. Result coefficients length - dwt_coeff_len
    pywt.dwt_coeff_len(data_len, filter_len, mode='symmetric')

9.其他变换

暂时没用到，附手册API Reference — PyWavelets Documentation

10.应用示例

GitHub：示例